🔢 数学公式速查

函数与导数 ▶

基本初等函数导数

(xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹

(sin x)' = cos x

(cos x)' = -sin x

(eˣ)' = eˣ

(ln x)' = 1/x

导数四则运算

(u±v)' = u' ± v'

(uv)' = u'v + uv'

(u/v)' = (u'v - uv') / v²

复合函数求导

[f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x)

切线方程

y - f(x₀) = f'(x₀)(x - x₀)

三角函数 ▶

基本关系

sin²α + cos²α = 1

tan α = sin α / cos α

和差角公式

sin(α±β) = sinα cosβ ± cosα sinβ

cos(α±β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ

tan(α±β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα tanβ)

二倍角公式

sin2α = 2sinα cosα

cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α

正弦定理

a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R

余弦定理

a² = b² + c² - 2bc·cosA

三角形面积

S = ½·ab·sinC = ½·bc·sinA = ½·ac·sinB

数列 ▶

等差数列通项

aₙ = a₁ + (n-1)d

等差数列求和

Sₙ = n(a₁+aₙ)/2 = na₁ + n(n-1)d/2

等比数列通项

aₙ = a₁·qⁿ⁻¹

等比数列求和

Sₙ = a₁(1-qⁿ)/(1-q) (q≠1)

aₙ与Sₙ关系

aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ (n≥2), a₁ = S₁

平面解析几何 ▶

两点间距离

|AB| = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]

点到直线距离

d = |Ax₀+By₀+C| / √(A²+B²)

圆的标准方程

(x-a)² + (y-b)² = r²

椭圆

x²/a² + y²/b² = 1 (a>b>0)

c² = a² - b²

双曲线

x²/a² - y²/b² = 1

c² = a² + b²

抛物线

y² = 2px (焦点(p/2,0), 准线x=-p/2)

立体几何 ▶

球的表面积

S = 4πr²

球的体积

V = 4/3·πr³

圆柱体积

V = πr²h

圆锥体积

V = 1/3·πr²h

锥体体积通用

V = 1/3·S底·h

概率与统计 ▶

古典概型

P(A) = 事件A包含的基本事件数 / 总基本事件数

互斥事件

P(A∪B) = P(A) + P(B)

对立事件

P(A) = 1 - P(Ā)

平均数

x̄ = (x₁+x₂+...+xₙ) / n

方差

s² = [(x₁-x̄)² + ... + (xₙ-x̄)²] / n

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